题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，
an，n（其中a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）．
（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）；
（2）当a=
时，数列{bn}是否存在最小项，若存在，请求出第几项最小；若不存在，请说明理由．
| a |
| 2(a-1) |
（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）；
（2）当a=
| 8 |
| 9 |
考点：数列与不等式的综合
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由Sn，
an，n成等差数列得到数列{an}的递推式，取n=n+1得另一递推式，两式作差后即可得到数列{an+1}是以a为公比的等比数列，求出其通项公式后可得数列{an}的通项公式；
（2）把（1）中求得的an代入bn=（an+1）lg（an+1），再把a=
代入得到数列{bn}的通项公式，作差后根据n的不同取值得到差式的不同符号，由此判断数列{bn}中存在最小项且第8项和第9项最小．
| a |
| 2(a-1) |
（2）把（1）中求得的an代入bn=（an+1）lg（an+1），再把a=
| 8 |
| 9 |
解答：
解：（1）由题意得
an=Sn+n ①
∴
an+1=Sn+1+n+1 ②
②-①得，
an+1=
an+1，
即an+1+1=a（an+1），
∴{an+1}是以a为公比的等比数列．
则an+1=(a1+1)an-1，
又
a1=a1+1，
∴a1=a-1，
∴an=an-1；
（2）∵an=an-1，
由bn=（an+1）lg（an+1）．
∴bn=nanlga．
当a=
时，
bn=n(
)nlg
，
∴bn+1-bn=
•(
)n•lg
．
当n＜8时，bn+1-bn＜0，即bn+1＜bn，
∴b1＞b2＞…＞b8，
当n=8时，bn+1-bn=0，即bn+1=bn，b8=b9，
当n＞8时，bn+1-bn＞0，即bn+1＞bn，
∴b9＜b10＜…，
∴存在最小项且第8项和第9项最小．
| a |
| a-1 |
∴
| a |
| a-1 |
②-①得，
| 1 |
| a-1 |
| a |
| a-1 |
即an+1+1=a（an+1），
∴{an+1}是以a为公比的等比数列．
则an+1=(a1+1)an-1，
又
| a |
| a-1 |
∴a1=a-1，
∴an=an-1；
（2）∵an=an-1，
由bn=（an+1）lg（an+1）．
∴bn=nanlga．
当a=
| 8 |
| 9 |
bn=n(
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
∴bn+1-bn=
| 8-n |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
当n＜8时，bn+1-bn＜0，即bn+1＜bn，
∴b1＞b2＞…＞b8，
当n=8时，bn+1-bn=0，即bn+1=bn，b8=b9，
当n＞8时，bn+1-bn＞0，即bn+1＞bn，
∴b9＜b10＜…，
∴存在最小项且第8项和第9项最小．
点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式的求法，训练了作差法比较两个数的大小，是中档题．
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