Question

8．已知矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$．
（1）求矩阵M的特征值和特征向量；
 （2）设$\vec β$=$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$，求M⁹⁹$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）依据题意知，$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$为反射变换矩阵，所以M⁹⁹=M，则易求M⁹⁹$\overrightarrow{β}$．

解答 解：（1）$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&0\\ 0&{λ+1}\end{array}}|=（{λ-1}）（{λ+1}）=0$，
∴λ₁=1或λ₂=-1．
当λ₁=1时，由$\left\{\begin{array}{l}0•x+0•y=0\\ 0•x+2y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$，即$\underset{\overline{ω}}{{a}_{1}}$=$|\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}|$．
当λ₂=-1时，由$\left\{\begin{array}{l}-2•x+0•y=0\\ 0•x+0•y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，即$\underset{\overline{ω}}{{a}_{2}}$=$|\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}|$．
（2）因为$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{-1}\end{array}}]$为反射变换矩阵，所以M⁹⁹=M
所以M⁹⁹=M，
所以M⁹⁹$\overrightarrow{β}$=M$\overrightarrow{β}$=$|\begin{array}{l}{2}\\{-3}\end{array}|$．

点评 本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．