Question

16．已知函数f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$），当0＜x＜1时，不等式f（x）•${log_2}（x-{2^m}+\frac{5}{4}）$＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 首先判断f（x）＞0在定义域上恒成立；有 $lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0，即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，则x＞2^m-$\frac{1}{4}$恒成立．

解答 解：由题意知：f'（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）单调递增，此时f（0）=0；
又不等式f（x）•$lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0恒成立．
∴$lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0，即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，则x＞2^m-$\frac{1}{4}$恒成立，
∵0＜x＜1，
∴2^m-$\frac{1}{4}$≤0⇒m≤-2．
故答案为：（-∞，-2]

点评 本题主要考查了函数的单调性与最值，不等式与对数的基础运算，属于中等题．