Question

18．已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+$\frac{1}{2}$恒成立，且当x＞0时，f（x）＞f（0）恒成立，
（1）盘点f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中max$\{a，b\}=\left\{\begin{array}{l}a，a≥b\\ b，a＜b\end{array}$）有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁x₂x₃的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0，求出f（0）的值，代入证明即可；
（2）求出k，构造函数g（x）=max{-x，2x-x²}，由-x＞2x-x²?x＜0，或x＞3，得到关于k的二次函数，求出u的范围即可．

解答 解：（1）f（x）在R递增，
证明如下：取x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+$\frac{1}{2}$，解得：f（0）=-$\frac{1}{2}$，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）+$\frac{1}{2}$-f（x₁）=f（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$＞0，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R递增；
（2）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1=0
?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$
?f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
而f（x）在R递增，
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0）?max{-x，2x-x²}+（-k）=0
?k=max{-x，2x-x²}，
构造函数g（x）=max{-x，2x-x²}，由-x＞2x-x²?x＜0，或x＞3，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x∈（-∞，0）∪（3，+∞）}\\{2x{-x}^{2}，x∈[0，3]}\end{array}\right.$，
于是，结合题意得：
y=k与y=g（x）的图象有3个不同的交点，
不妨设这3个零点为：x₁＜x₂＜x₃，
则0＜k＜1，x₁=-k，x₂，x₃是方程2x-x²=k的两根，
即x₂，x₃的方程x²-2x+k=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{+x}_{3}=2}\\{{x}_{2}{•x}_{3}=k}\end{array}\right.$，
∴u=（x₁+x₂+x₃）+x₁x₂x₃=2-k-k²=$\frac{9}{4}$-${（k+\frac{1}{2}）}^{2}$在k∈（0，1）递减，
故0＜u＜2．

点评 不同考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道综合题．