Question

【题目】已知函数．

（1）若有两个零点，求a的取值范围；

（2）设，，直线的斜率为k，若恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求导得,当时,可得在上是增函数，不可能有两个零点, 当时,利用导数可以求得函数在定义域内的最大值为,由，解得.然后根据, 得到在上有1个零点；根据,,得到在上有1个零点,可得的取值范围.

(2)利用斜率公式将恒成立,转化为,即在上是增函数,再求导后,分离变量变成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.

（1），，

①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点；

②当时，在区间上，；在区间上，．

∴在是增函数，在是减函数，，解得，此时，且，∴在上有1个零点；

，

令，则，∴在上单调递增，

∴，即，∴在上有1个零点．

∴a的取值范围是．

（2）由题意得，

∴，

∴在上是增函数，

∴在上恒成立，∴，

∵，∴，当且仅当时，即取等号，∴．

∴a的取值范围是．