Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故； ，故，故；所以， ；

（2）令，则，由题设可得，故，令得，

（1）若，则，从而当时， ，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；

（2）若， ，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立

（3）若，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；

综上所述k的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知， ,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．

试题解析：（1）由已知得，

而，

（4分）

（2）由（1）知， ，

设函数，

．

由题设可得，即，

令得, ．．（6分）

①若，则，∴当时，

，当时， ，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，

而．

∴当时， ，即恒成立． ．（8分）

②若，则，

∴当时， ，∴在单调递增，

而，∴当时， ，即恒成立，

③若，则，

∴当时， 不可能恒成立． ．（10分）

综上所述， 的取值范围为．（12分）