Question

4．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞c）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，若椭圆的离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则直线OA的方程是（　　）

• A． y=$\frac{1}{2}x$
• B． y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• C． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• D． y=x

Answer 1

分析 设F₂（c，0），令x=c，代入椭圆方程求得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，运用向量的数量积的定义可得AF₂⊥F₁F₂，可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），运用离心率公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程．

解答 解：设F₂（c，0），
令x=c，代入椭圆方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，
即为|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|•cos∠AOF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，
则|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠AOF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
即有AF₂⊥F₁F₂，可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{1-{e}^{2}}{e}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则直线OA的方程为y=$\frac{{b}^{2}}{ac}$x，即为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故选：B．

点评 本题考查直线方程的求法，注意运用向量的数量积的定义和椭圆的离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．