题目内容
【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1 ， D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 
？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
【答案】
（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1， 
），F（ ， ，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），
设D（x，y，z）， 
且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则 D（λ，0，1），所以 
=（ 
， ，﹣1），
∵ 
=（0，1， ），∴ = 
=0，所以DF⊥AE
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 
．
理由如下：
设面DEF的法向量为 
=（x，y，z），则 
，
∵ 
=（ 
， ， ）， =（ ，﹣1），
∴ 
，即 
，
令z=2（1﹣λ），则 =（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量 
=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，
∴|cos＜ ， ＞|= 
= ，即 
= ，
解得 
或 
（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【解析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由 
与 
共线可得D（λ，0，1），所以 =0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为 可写成 =（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量 =（0，0，1），令|cos＜ ， ＞|= ，解出λ的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．
