Question

【题目】已知关于的方程有两个不同的实数根、.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：.

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）方程有两个不同的实数根、，等价于有两个不等根，对函数求导，使得函数的图象与有两个不同的交点即可;(2) 证，只需证，需证，构造函数证明大于0.

解析：

（Ⅰ）∵，∴.令，

则 ，

令，解得，令，解得，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

∴；

又当时，，当时，，

画出函数的图象.

要使函数的图象与有两个不同的交点，

则，即实数的取值范围为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，不妨设，则，.

要证，只需证.

∵，且函数在上单调递减，

∴只需证，又，∴只需证，

即证，即证对恒成立.

令，，则，

∵，∴，∴恒成立，

则函数在上单调递减，∴.

综上所述，.