Question

已知x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点
（I）求实数a的值；
（II）求函数f（x）在x∈[

3

2

，3]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出a；
（II）求导函数，可得函数在x=1或2处取极值，比较极值与端点函数值，即可得到结论．

解答：解：（I）由f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x可得
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x=[x²+（2+a）x-a-3]e^x
∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e²=0，
解得a=-5；
（II）由（I）知，f′（x）=（x-2）（x-1）e^x，
∴函数在x=1或2处取极值
∵f（1）=3e，f（2）=e²，f（3）=e³，f(

3

2

)=

7

4

e

3

2

∴函数f（x）在x∈[

3

2

，3]的最小值为f（2）=e²；最大值为e³．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查函数的单调性，属于中档题．