Question

已知x=

2

是函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x＜0

的极值点．
（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考查函数的导数在极值点两侧的符号，导数大于0的区间是函数的增区间，小于0的区间是函数的减区间．
（Ⅱ） 根据函数的单调性求出f（x）的值域，要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线
y=m有两个不同的交点，分b＞0、b=0、b＜0 三种情况求出实数m的取值范围．

解答：解（Ⅰ）x＞0时，f（x）=（x²-2ax ） e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ） e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′（

2

）=0，解得a=1．∴f（x）=（x²-2x），f′（x）=（x²-2）e^x．
当 x∈（0，

2

）时，f′（x）＜0，当x∈（

2

，+∞）时，f′（x）＞0．   又f（0）=0，
当 b=1时，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞） 上单调递增，在（0，

2

）上单调递减．
（Ⅱ）由（1）知，当x∈（0，

2

）时，f（x）单调递减，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
当x∈（

2

，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．
要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

．
②当b=0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
③当b＜0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数研究单调性和极值，体现了分类讨论的数学思想．