Question

已知x=2是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数f′（x），由f'（2）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，由f′（x）=0，求得极值点的横坐标，再根据导数的符号求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

+2x-12，（x＞0），
由已知f'（2）=0得，

a

2

-8=0，解得a=16．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，x∈（0，+∞），
令f′（x）=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

=0，解得 x=2或 x=4．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；
x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；
f（x）的单调减区间是（2，4）

点评：本题主要考查函数在某一点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．