Question

把半径为1的四个小球垒成两层放在桌子上，下层放3个，上层放1个，两两相切，求上层的最高点离桌面的距离．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高，由此可求上面一个球的球心到桌面的距离．

解答： 解：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为4，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高．
连接O₄H，则O₄H=

2 3

3

，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，∴O₁H=

2 6

3

，
则从上面一个球的球心到桌面的距离为

2 6

3

+1．
上层的最高点离桌面的距离：

2 6

3

+1．

点评：本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生转化问题的能力，属于中档题．