Question

12．已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2，{S_7}=56$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{{3^{a_n}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）与数列{a_n}是等差数列，且${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2$，可得$2{a_3}=\frac{1}{3}a_3^2$，又a_n＞0，解得a₃=6．根据${S_7}=\frac{{7（{a_1}+{a_7}）}}{2}=7{a_4}$=56，可得a₄，再根据等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是等差数列，且${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2$，
所以$2{a_3}=\frac{1}{3}a_3^2$，又a_n＞0
所以a₃=6．
因为${S_7}=\frac{{7（{a_1}+{a_7}）}}{2}=7{a_4}$=56，
所以a₄=8．
所以公差d=a₄-a₃=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n．
（2）设数列$\left\{{{3^{a_n}}}\right\}$的前n项和为T_n．
∴${T_n}={3^2}+{3^4}+…+{3^{2n}}=\frac{{9（1-{9^n}）}}{1-9}=\frac{9}{8}（{9^n}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．