Question

15．求函数y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5在区间[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 通过换元法将原函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出函数的对称轴，单调性，从而求出函数的最值即可求出函数在闭区间上的值域．

解答 解：y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5
=2^2x-1-3•2^x+5
=$\frac{1}{2}$•（2^x）²-3•2^x+5，
令2^x=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]
则y=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，t∈[1，4]，
对称轴t=3，函数在[1，3）递减，在（3，4]递增，
∴y_最小值=y|_t=3=$\frac{1}{2}$，y_最大值=y|_t=1=$\frac{5}{2}$，
∴函数的值域是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查了换元思想，考查二次函数、指数函数的性质，是一道中档题．