Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由于a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．可得2（a₃+1）=a₁+a₄，即可得出2（2q²+1）=2+2q³，解得q．
（2）b_n=log₂a_n=n，可得

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
∴2（a₃+1）=a₁+a₄，
∴2（2q²+1）=2+2q³，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．