题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求角A；
（2）若a=
，求b+c的取值范围．
（1）求角A；
（2）若a=
| 3 |
考点：正弦定理
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形
分析：（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简三角函数式，即可得到A；
（2）由正弦定理，求出b=2sinB，c=2sinC，运用两角和的正弦公式，化简b+c，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．
（2）由正弦定理，求出b=2sinB，c=2sinC，运用两角和的正弦公式，化简b+c，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．
解答：
解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∴cosA=
，（0＜A＜π），
∴A=
；
（2）由（1）知B+C=
，0＜B＜
，
又∵a=
由正弦定理b=
=2sinB，c=2sinC，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（
-B））=3sinB+
cosB
=2
sin(B+
)，
∵0＜B＜
∴
＜B+
＜
，即有
＜sin（B+
）≤1，
∴b+c的范围是(
，2
]．
∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
（2）由（1）知B+C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
又∵a=
| 3 |
由正弦定理b=
| asinB |
| sinA |
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴b+c的范围是(
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换应用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．
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相关题目
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于若|
|=2，|
|=1，
和
夹角为60°，则|
+2
|=（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、2 | ||
| B、4 | ||
| C、3 | ||
D、2
|
若曲线 y=x2 上P点处的切线平行于 2x-y+1=0，则点P的坐标是（ ）
| A、（ 1，-1） |
| B、（-1，1） |
| C、（ 1，1） |
| D、（-1，-1） |
直线3x-4y-9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（ ）
| A、相交且过圆心 | B、相切 |
| C、相离 | D、相交但不过圆心 |