Question

（本小题满分10分））【选修4—1：几何证明选讲】

已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，的平分线分别交AB、AC于点和.

（1）证明：；

（2）若，求的值.

Answer 1

（1）为的平分线，；

又直线是圆的切线，；

又，；

. 5分

（2）过作于；

为圆的直径，，又

由，则，

而，

；则，

得，

所求即. 10分

【解析】

试题分析（1）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；

（2）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（1）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．

考点：弦切角；相似三角形的性质