题目内容
13．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对?x∈（0，∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）-f′（x）的零点个数为（ ）| A． | 0 | B． | l | C． | 2 | D． | 3 |
分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．
解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=e-1＞0，g（$\frac{1}{e}$）=-1＜0，
存在x0∈（$\frac{1}{e}$，1），使得g（x0）=0，
故函数g（x）有且只有1个零点，
故选：B．
点评 本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
4．记max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$}取最小值时，|$\overrightarrow{c}$|=（ ）
| A． | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | C． | 1 | D． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ |
8．已知a＞0，且a≠1，则双曲线C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y2=1与双曲线C2：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x2=1的（ ）
| A． | 焦点相同 | B． | 顶点相同 | C． | 渐近线相同 | D． | 离心率相等 |
18．下列函数既是奇函数，又在[-1，1]上单调递增是（ ）
| A． | f（x）=|sinx| | B． | f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$ | C． | f（x）=$\frac{1}{2}$（ex-e-x） | D． | f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x） |
20．复数z=（1-i）2+$\frac{2}{1+i}$（i为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |