题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和零点；
（2）若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间：
；单调递增区间：
；零点为：
（2）
【解析】
（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令
，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为
图像恒在
上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时
；从而可构造出
，利用导数求得
，由此可得取值范围.
（1）
令
，解得：
所以函数在
上单调递减，在上单调递增
单调递减区间为，单调递增区间为
令，解得：
所以函数的零点是
（2）画出的大致图像，如图所示
设
，则
的图像恒过点
设函数
的图像在点
处的切线过点
所以
，
的图像在处的切线方程为
将代入切线方程，得
整理得：
设
令
，得或
所以
在
，上单调递增，在
上单调递减
又
，
，
所以
是方程
的唯一解
所以过点且与的图像相切的直线方程为
令，则
当
时，
；当
时，
又
，即在上恒成立
即函数的图像恒在其切线的上方
数形结合可知，
的取值范围
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