Question

【题目】已知依次满足

（1）求点的轨迹；

（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）以原点为圆心，为半径的圆； （2）； （3）存在点，其坐标为或,使得直线与以为圆心的圆相切

【解析】

（1）利用表示出，从而得到轨迹方程；（2）利用直线与圆相切得到，将直线方程代入椭圆方程，得到，利用求得，从而得到椭圆方程；（3）利用圆心到直线距离等于半径得到，再利用在椭圆上可以求解出点坐标，从而可求得结果.

（1）设，

则

则：

代入得：

点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆

（2）由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为……①

椭圆的方程……②

由与圆相切得：

将①代入②得：

又，可得

设，

椭圆方程为：

（3）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切

则到直线的距离相等，又

则，

则

化简整理得：

点在椭圆上

解得：或（舍）

时，

椭圆上存在点，其坐标为或

使得直线与以为圆心的圆相切