Question

【题目】圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，点的坐标为，的面积为，求的最大值，及直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），直线的方程为或.

【解析】

（1）设点的坐标，求出的坐标，设，通过，可以得到

与的关系，与的关系，把代入圆的方程中，最后得到点的轨迹的方程。

（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，直线方程与点的轨迹的方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，可以得出的面积的表达式，最后利用基本不等式可以求出的最大值，直线的方程.

（1）设，则，设，，，因为，所以，把代入圆的方程得，所以的轨迹的方程为.

（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，

联立，，，

.

当且仅当时取等号，

所以面积有最大值为.

所以的面积为最大时，直线的方程为或.