Question

设f（x）=3sinx•cosx-4cos²x
（1）求的值；
（2）若对一切x∈R，常数m、M满足m≤f（x）≤M，求M-m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将f（x）=3sinx•cosx-4cos²x转化为：f（x）=sin2x-2cos2x-2，的值可求；
（2）利用辅助角公式将f（x）=sin2x-2cos2x-2，化为：f（x）=sin（2x+φ）-2，（tanφ=），从而可求得f（x）的取值范围，问题即可解决．
解答：解：（1）∵f（x）=3sinx•cosx-4cos²x=sin2x-2（cos2x+1）=sin2x-2cos2x-2，
∴f（）=-2=-；
（2）∵f（x）=sin2x-2cos2x-2=sin（2x+φ）-2=sin（2x+φ）-2，（tanφ=），又x∈R，
∴-≤f（x）≤；又m≤f（x）≤M，
M-m的最小值为：5．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，难点在于灵活应用三角函数的辅助角公式求最值，属于中档题．