Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos2ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式，并写出函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

]时，设a=2^f（x），解不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式与辅助角公式即可求得f（x）的解析式，从而可写出函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）根据f（x）=sin（4x-

π

6

），x∈[

π

3

，

π

2

]时，a=2^f（x），求得a∈（0，1）从而可求得不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）．又f（x）的最小正周期为

π

2

，
∴

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2，故f（x）=sin（4x-

π

6

）
∴由4x-

π

6

=kπ得：x=

kπ

4

+

π

24

，k∈Z，
∴函数f（x）图象的对称中心的坐标为：（

kπ

4

+

π

24

，0）k∈Z，
（2）∵

π

3

≤x≤

π

2

，
∴

7π

6

≤4x-

π

6

≤

11π

6

，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）＜0．
∴0＜a=2^f（x）＜1．
∵log_a（x²+x）＞log_a（x+2），
∴0＜x²+x＜x+2，
∴-

2

＜x＜-1或0＜x＜

2

．
当x∈[

π

3

，

π

2

]时，不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集为：{x|-

2

＜x＜-1或0＜x＜

2

}．

点评：本题考查二倍角公式与辅助角公式，考查正弦函数的对称性与值域，突出考查解对数不等式，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．