Question

5．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2$\sqrt{10}$，∠CAD=$\frac{π}{4}$，tan∠ADC=-2，求：
（1）CD的长；
（2）△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠ADC=-2计算sin∠ADC，得出sin∠ACD，在△ACD中使用正弦定理求出CD；
（2）根据∠ADC+∠BCD=180°求出sin∠BCD，cos∠BCD，在△BCD中使用余弦定理解出BC，则S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CDsin∠BCD$．

解答 解：（1）∵tan∠ADC=-2，∴sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠ADC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{\sqrt{5}}{5}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，即$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得CD=$\sqrt{5}$．
（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴sin∠BCD=sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠BCD=-cos∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在△BCD中，由余弦定理得BD²=CD²+BC²-2BC•CDcos∠BCD，
即40=5+BC²-2BC，解得BC=7或BC=-5（舍）．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CDsin∠BCD=$\frac{1}{2}×7×\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=7．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．