Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是

3

2

．F₁，F₂分别为左右焦点，点M在椭圆上且△MF₁F₂的周长为2

3

+4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P是椭圆C上的任意一点，点E（-1，0），求|PE|的取值范围
（3）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若

AE

=2

EB

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 3 2 2a+2c=2 3 +4

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（2cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，则|PE|=

(2cosθ+1)2+sin2θ

=

3(cosθ+ 2 3 )2+ 2 3

，由此能求出|PE|的取值范围．
（3）若直线l的斜率不存在，

AE

=2

EB

不成立．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．由

x2 4 +y2=1 y=k(x+1)

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由已知得

c a = 3 2 2a+2c=2 3 +4

，…（3分）
解得a²=4，b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）∵P是椭圆C：

x2

4

+y2=1．上的任意一点，
∴设P（2cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
∵点E（-1，0），
∴|PE|=

(2cosθ+1)2+sin2θ

=

3cos2θ+4cosθ+2

=

3(cosθ+ 2 3 )2+ 2 3

，
∴|PE|的取值范围是[

6

3

，3]．
（3）由已知，若直线l的斜率不存在，
则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），
由题意知

AE

=2

EB

不成立．…（6分）
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．
则

x2 4 +y2=1 y=k(x+1)

，
整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．…（8分）
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

4k2+1

，①x1x2=

4k2-4

4k2+1

． ②…（9分）
因为

AE

=2

EB

，即x₁+2x₂=-3．③
①②③联立解得k=±

15

6

．…（13分）
∴直线l的方程为

15

x+6y+

15

=0和

15

x-6y+

15

=0．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两点间距离的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．