Question

17．已知函数f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）求满足不等式f（2^x）＞2^x的实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）为奇函数，求f（x）的定义域为R，且容易得到f（-x）=-f（x），从而证出f（x）为奇函数；
（Ⅱ）由原不等式可以得到$\frac{6•{2}^{x}}{{2}^{2x}+1}＞{2}^{x}$，可化简成2^2x＜5，不等式两边取以2为底的对数便可得出实数x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，证明如下：
f（x）的定义域为R，f（-x）=$\frac{-6x}{{x}^{2}+1}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（Ⅱ）由f（2^x）＞2^x得，$\frac{6•{2}^{x}}{{2}^{2x}+1}＞{2}^{x}$；
∴$\frac{6}{{2}^{2x}+1}＞1$；
整理成2^2x＜5；
∴2x＜log₂5；
∴$x＜\frac{lo{g}_{2}5}{2}$；
即$x＜lo{g}_{2}\sqrt{5}$；
∴实数x的取值范围为（-∞，$lo{g}_{2}\sqrt{5}$）．

点评 考查奇函数的定义及判断方法和过程，指数函数的值域，分式不等式的解法，以及指数式和对数式的互化，对数函数的单调性．