Question

【题目】过 轴上动点 引抛物线 的两条切线 、 ， 、 为切点，设切线 、 的斜率分别为 和 .

（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证：直线 恒过定点，并求出此定点坐标；

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设过 与抛物线 的相切的直线的斜率是 ，
则该切线的方程为： ，由 得
，
则 都是方程 的解，故 。
（Ⅱ）法1：设 ，
故切线 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化为 ，
切线 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化为 ，
又由于 点在AP上，则 ，
又由于 点在AQ上，则 ，
，
则直线PQ的方程是 ，则直线PQ过定点 .
法2：设 ， 所以,
直线PQ： ，
即 ，由（1）知 ，
所以，直线PQ的方程是 ，则直线PQ过定点 .
【解析】（1）设出过A点的直线，联立抛物线，已知直线与抛物线相切，故，再利用韦达定理可以得到结果。
（2）先设出P，Q两点的坐标，求出PQ直线方程，即可知定点坐标。