Question

【题目】(本题满分14分)

已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】分析：(I)通过已知得到关于数列的项的两个等式,处理方程组得到,利用等差数列的定义得证；〔II〕利用等差数列的通项公式求出，求出 ；（III） 先通过裂项求和的方法求出，代入化简得到关于的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于，求出的范围.

详解：（I）由已知，得①，② .

由②得③.将③代入①得，

对任意，有

即

是等差数列.

（Ⅱ）设数列的公差为，

由经计算，得

（Ⅲ）由（1）得

不等式化为

即

设，则对任意正整数恒成立．

当，即时，不满足条件；

当，即时，满足条件；

当，即时，的对称轴为，关于递减，

因此，只需解得

综上，