Question

9．若长度为x²+4，4x，x²+6的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x取值范围是x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 x²+6＞x²+4≥4x＞0，可得x²+6为最大边．由于此三角形为锐角三角形，可得cosθ=$\frac{（{x}^{2}+4）^{2}+（4x）^{2}-（{x}^{2}+6）^{2}}{2×4x×（{x}^{2}+4）}$＞0，解出即可得出．

解答 解：∵x²+6＞x²+4≥4x＞0，可得x²+6为最大边．
由于此三角形为锐角三角形，∴cosθ=$\frac{（{x}^{2}+4）^{2}+（4x）^{2}-（{x}^{2}+6）^{2}}{2×4x×（{x}^{2}+4）}$＞0，
化为：x²＞$\frac{5}{3}$，x＞0，解得x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：x$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、不等式的解法、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．