Question

17．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线$l：ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ρ≥0，0≤θ≤2π}）$．
（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）圆O的极坐标方程化为ρ²=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ-ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标．

解答 解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
故圆O的直角坐标方程为：x²+y²-x-y=0，
直线$l：ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，
则直线的直角坐标方程为：x-y+1=0．
（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.$．
即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），
转化为极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}）$．

点评 本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．