Question

14．设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+3）=0，且当-1＜x≤1时，f（x）=2x-3．
（1）求f（x）的周期；
（2）求当2＜x≤4时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，转化为周期的定义，求解即可．
（2）利用已知条件，求出-1≤x≤1时，f（x+3）=-2x+3，设x+3=t，转化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x）
所以f（x-3）+f（x）=0，
∴f（x-3）=-f（x），
∴f（x+3）=f（x-3），
∴f[（x-3）+6]=f（x-3），
所以周期为6．
（2）∵当-1＜x≤1时，f（x）=2x-3，
∴当-1≤x≤1时f（x+3）=-f（x）=-2x+3，
设x+3=t，则由-1＜x≤1得2＜t≤4，又x=t-3，
于是f（t）=-2（t-3）+3=-2t+9，
故当2＜x≤4时，
f（x）=-2x+9．

点评 本题考查抽象函数的应用，周期的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．