Question

【题目】已知，且，函数，其中为自然对数的底数：

（1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值；

（2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点；

（3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） 的最小值为2（2）见解析（3），或

【解析】试题分析：（1）由函数为偶函数可得，从而求出，需代入检验，结合基本不等式即可求出此时函数的最小值；（2）假设过定点，则对任意，且恒成立，可分别令和，从而得出定点；（3）令，且，则方程存在一个解，分别讨论和时函数的单调性，即可得出实数的取值范围.

试题解析：（1）由得： ，解得（舍），或，

经检验为偶函数

∴.

又，当且仅当时取等号，

∴的最小值为2.

（2）假设过定点，则对任意，且恒成立.

令得： ；令得： ，

∴， ，解得唯一解

∴

经检验当时，

∴函数的图像经过唯一定点.

（3）令为上连续函数，且，则方程存在一个解.

当时， 为增函数，此时只有一解.

当时，令 ，解得.

因为， ， ，令 ， 为增函数.

所以当时， ，所以， 为减函数；

当时， ，所以， 为增函数.

所以，又定义域为，所以.

①若， 在上为减函数， ，而.

所以时， 至少存在另外一个零点，矛盾！

②若， 在上为增函数， ，而，所以在存在另外一个解，矛盾！

③当，则，解得，此时方程为，

由（1）得，只有唯一解，满足条件

综上，当，或时，方程有且只有一个解.