Question

下列命题正确的是（　　）
①椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，则b=c（c为半焦距）．
②双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为b．
③已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．

• A、②③
• B、①
• C、①②
• D、①③

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对于①，利用椭圆中三个参数的关系判断；对于②根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式判断；对于③利用直线和抛物线的位置关系判断．

解答： 解：对于①，

c

a

=

2

2

，则b=c，①正确；
对于②，双曲线（a＞b＞0）的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：y=±x，根据点到直线的距离公式得到距离d═b．所以②正确；
对于③，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，则

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以③错误．
故选：C．

点评：本题考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，考查抛物线的性质，属于一道综合题．