Question

18．已知等差数列{a_n}满足a₅=8，a₇=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}的各项均为正数，其前n项和为T_n，若b₃=a₃，T₂=3，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₅=8，a₇=12，解利用等差数列的通项公式可得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=8\\{a_1}+6d=12\end{array}\right.$，解出进而得出．
（2）设{b_n}的公比为q（q＞0）．可得b₃=a₃=4，${T_2}=\frac{b_3}{q^2}+\frac{b_3}{q}=\frac{4}{q^2}+\frac{4}{q}=3$，解出进而得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=8，a₇=12，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=8\\{a_1}+6d=12\end{array}\right.$，解得a₁=0，d=2．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）=2n-2．
（2）设{b_n}的公比为q（q＞0）．
∵a_n=2n-2，∴b₃=a₃=4，
∴${T_2}=\frac{b_3}{q^2}+\frac{b_3}{q}=\frac{4}{q^2}+\frac{4}{q}=3$，
解得q=2或$q=-\frac{2}{3}$（舍去），
∴b₁=1，${T_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．