Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2AA₁则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出

BC1

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），

AC

且为平面BB₁D₁D的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），

AC

且为平面BB₁D₁D的一个法向量．
∴cos＜

BC1

，

AC

＞=

4

5 • 8

=

10

5

．
∴BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

10

5

，
故答案为：

10

5

．

点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角，重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．