Question

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于

2

．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）与圆C相切，求证：m+n=

mn+2

2

．

Answer 1

（1）设圆C半径为r，圆心为（a，b），
由已知得：

|a|=|b| r=|a| |a+b| 2 = 2

，
∴

a=b=1 r=1

或

a=b=-1 r=1

，
∴圆C方程为（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）证明：直线l方程变形为nx+my-mn=0，
∵直线l与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，
左边展开，整理得，mn=2m+2n-2，
∴m+n=

mn+2

2

．