Question

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于

2

．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）与圆C相切，求证：m+n=

mn+2

2

．

Answer 1

分析：（1）设圆C的半径为r，圆心为（a，b），根据题意求出a，b及r的值，即可确定出圆C的方程；
（2）由直线l与圆C相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后即可得证．

解答：解：（1）设圆C半径为r，圆心为（a，b），
由已知得：

|a|=|b| r=|a| |a+b| 2 = 2

，
∴

a=b=1 r=1

或

a=b=-1 r=1

，
∴圆C方程为（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）证明：直线l方程变形为nx+my-mn=0，
∵直线l与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，
左边展开，整理得，mn=2m+2n-2，
∴m+n=

mn+2

2

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程，弄清题意是解本题的关键．