Question

已知函数f（x）=x|x-4|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5；
（Ⅲ）设0＜a≤4，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

，可得f（x）的单调递增区间和单调递减区间．
（Ⅱ）不等式f（x）＜5，即 x|x-4|＜5，可得 

x≥4 x2-4x-5＜0

 ①，或

x＜4 x2-4x+5＞0

 ②．分别求得①和②的解集，再取并集，即为所求．
（Ⅲ）分当0＜a≤2时，和当2＜a≤4 时两种情况，分别利用函数的单调性求得f（x）在[0，a]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，2]和[4，+∞）；  单调递减区间是[2，4]．
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5，即 x|x-4|＜5，∴

x≥4 x2-4x-5＜0

 ①，或

x＜4 x2-4x+5＞0

 ②．
解①求得4≤x＜5，解②求得x＜4，故原不等式的解集为（-∞，5）．
（Ⅲ）解：当0＜a≤2时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（4-a）．
当2＜a≤4 时，f（x）在[0，2]上是增函数，在[2，a]上是减函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（2）=4．
 综上，当0＜a≤2时，f（x）在[0，a]上上的最大值是a（4-a）；
当2＜a≤4 时，f（x）在[0，a]上上的最大值是4．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，利用单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．