Question

设f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，（0＜a＜1）
（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，设log_ax=t，则x=a^t，代入化简即可，再利用奇偶性的定义证明即可，
（2）函数为增函数，利用定义证明即可，
（3）利用函数为奇函数和增函数，得到不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）设log_ax=t，则x=a^t，
∴f（t）=

a(a2t-1)

at(a2-1)

=

a2t+1-a

at+2-at

=

a

a2-1

(at-a-t)
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
∴f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
（2）函数为增函数，
∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1-ax2+a-x2）=

a

a2-1

（ax1-ax2+(

1

a

)x2-(

1

a

)x1），
∵0＜a＜1时，
∴a²-1＜0，

1

a

＞1，
∴ax1-ax2＞0，+(

1

a

)x2-(

1

a

)x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（3）∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

解得，1＜m＜

2

，
故m的取值范围为（1，

2

）．

点评：本题主要考查合理函数的解析式，奇偶性，单调性，以及不等式组的解法，属于基础题．