Question

5．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．
（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；
（Ⅱ）若$OM=\frac{1}{2}，BE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，求∠E的大小．

Answer 1

分析 （1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．
（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．

解答 （1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．
∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，
∴$\frac{AE}{OE}=\frac{ME}{NE}$，∴OE•ME=NE•AE．
（2）设OE=x，（x＞0），
∵BE=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，∴NE=2$\sqrt{3}$，AE=3$\sqrt{3}$，
又∵OM=$\frac{1}{2}$，∴x$•（x+\frac{1}{2}）$=2$\sqrt{3}•3\sqrt{3}$，即：（x-4）（2x+9）=0，
∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E=$\frac{NE}{OE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠E=30°．

点评 本题考查三角形相似的判断与应用，直角三角形的解法，考查计算能力．