在直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴)中.圆C的方程为ρ=4sinθ．(Ⅰ)求圆C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数，t∈R）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|．

分析（Ⅰ）ρ=4sinθ可以化为ρ²=4ρsinθ，利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l过点P，且P在圆C内，可得|PA|+|PB|=|AB|．
（法一）把直线l的参数方程化为直角坐标方程为x-y+1=0，求出圆心（0，2）到直线l的距离d，利用弦长公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．
（法二）把直线l的参数方程代入x²+y²-4y=0中，可得${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答解：（Ⅰ）ρ=4sinθ可以化为ρ²=4ρsinθ，即x²+y²-4y=0，圆心为（0，2），半径为2．
（Ⅱ）直线l过点P，且P在圆C内，所以|PA|+|PB|=|AB|．
（法一）$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$化为直角坐标方程为x-y+1=0，
圆心（0，2）到直线l的距离为$\frac{|0-2+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$|AB|=2\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\sqrt{14}$．
（法二） $\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入x²+y²-4y=0中，
可得${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$，设该方程两个根为t₁，t₂，
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-3．
则|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2-4×（-3）}$=$\sqrt{14}$．