题目内容
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（4，0），联结AP与椭圆的另一交点记为B，若AP与椭圆相切则视为A，B重合，联结BF2与椭圆的另一交点记为C，求
•
的取值范围．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（4，0），联结AP与椭圆的另一交点记为B，若AP与椭圆相切则视为A，B重合，联结BF2与椭圆的另一交点记为C，求
| PA |
| F2C |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）根据椭圆M的离心率为
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为
，可得：
=
，
×2c×b=
，求出几何量，即可求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），AP的方程为：y=k1（x-4）代入椭圆方程，求出x1x2=
；BF2的方程为：y=k2（x-1）代入椭圆方程，求出x2x3=
，根据x1=x3，A，C不重合，可得y3=-y1，进而表示出
•
，即可求出其取值范围．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），AP的方程为：y=k1（x-4）代入椭圆方程，求出x1x2=
8x2-5
| ||
| 5-2x2 |
8x2-5
| ||
| 5-2x2 |
| PA |
| F2C |
解答：
解：（I）由题可知：
=
，
×2c×b=
解得：a=2，b=
，c=1
故椭圆M的方程为：
+
=1…（5分）
（II）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
由题意可知直线AP的斜率是存在的，故设直线AP的斜率为k1，直线BF2的斜率为k2，
AP的方程为：y=k1（x-4）代入椭圆方程
+
=1得(4k12+3)x2-32k12x+64k12-12=0，
x1x2=
=16-
将k1=
=3-
代入解得：x1x2=
…（7分）
BF2的方程为：y=k2（x-1）代入椭圆方程
+
=1得(4k22+3)x2-8k22x+4k22-12=0，
x2x3=
=1-
将k2=
，
=3-
代入解得：x2x3=
…（9分）
∴x1=x3，
又∵A，C不重合，∴y3=-y1…（10分）
∴
•
=(x1-4，y1)•(x1-1，-y1)=
-5x1+4-
=
-5x1+1=
(x1-
)2-
（-2＜x1＜2）…（12分）
∴-
≤
•
＜18…（13分）
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
解得：a=2，b=
| 3 |
故椭圆M的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
由题意可知直线AP的斜率是存在的，故设直线AP的斜率为k1，直线BF2的斜率为k2，
AP的方程为：y=k1（x-4）代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
x1x2=
| 64k12-12 |
| 4k12+3 |
| 60 |
| 4k12+3 |
将k1=
| y2 |
| x2-4 |
| y | 2 2 |
| 3 |
| 4 |
| x | 2 2 |
8x2-5
| ||
| 5-2x2 |
BF2的方程为：y=k2（x-1）代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
x2x3=
| 4k22-12 |
| 4k22+3 |
| 15 |
| 4k22+3 |
将k2=
| y2 |
| x2-1 |
| y | 2 2 |
| 3 |
| 4 |
| x | 2 2 |
8x2-5
| ||
| 5-2x2 |
∴x1=x3，
又∵A，C不重合，∴y3=-y1…（10分）
∴
| PA |
| F2C |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
| 7 |
| 4 |
| x | 2 1 |
| 7 |
| 4 |
| 10 |
| 7 |
| 18 |
| 7 |
∴-
| 18 |
| 7 |
| PA |
| F2C |
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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