Question

14．动直线x=m（m＞0）与函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，g（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx分别交于点A，B，则|AB|的最小值为（　　）

• A． 3+ln2
• B． 2
• C． $\frac{7}{2}$-ln2
• D． 3

Answer 1

分析 将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．

解答 解：设函数y=f（x）-g（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0），
求导数得y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$（x＞0），
令y′＜0，∴0＜x＜1，∴函数在（0，1）上为单调减函数，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞1，∴函数在（1，+∞）上为单调增函数，
∴x=1时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：1+2+ln1=3，
故所求|AB|的最小值即为函数y的最小值：3
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．