Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx-（a+1）x+$\frac{1}{2}$a（a为常数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，从而确定函数的单调区间；
（2）求导f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）=x²+lnx-3x+1，f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0；
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调减区间是（$\frac{1}{2}$，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，
当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=-1，
当0＜a＜1时，f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上单调递减，
所以，当x∈（1，$\frac{1}{a}$）时，f（x）≤f（1）=-1，不合题意，
当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f（x）≤f（1）=-1，不合题意，
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．