Question

已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，若函数g（x）=log₅x，则h（x）=f（x）-g（x）在区间（0，5]内的零点的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数的奇偶性和对称性，可得函数的周期，作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，且满足f（1+x）=f（1-x），
∴（1+x）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期是2，
由h（x）=f（x）-g（x）=0，得f（x）=g（x），
分别作出函数y=f（x），和y=g（x）的图象如图：
当g（x）=log₅x=1，解得x=5，
则由图象可知区间（0，5]内，两个函数有4个不同的交点，
即h（x）=f（x）-g（x）在区间（0，5]内的零点的个数是4个，
故选：C

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数的奇偶性判断函数f（x）的周期性是解决本题的关键，将条件转化为2个函数图象的交点问题是解决函数零点个数问题的基本方法．主要使用数形结合的数学思想．