Question

4．在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a-b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA+sinB}$，a=1．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；
（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{a-b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA+sinB}$，
∴（a-b）（sinA+sinB）=（a-c）sin（A+B）=（a-c）sinC，
∴（a-b）（a+b）=（a-c）c，
化为a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，B∈（0，π）．
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵$\frac{1}{2}ac$sinB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×1×c$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，解得c=4．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=1+4²-2×1×4×$cos\frac{π}{3}$=13，
∴b=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．