Question

14．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b²、c²是关于x的一元二次方程x²-（a²+bc）x+m=0的两根．
（1）求角A的值；
（2）若$a=\sqrt{3}$，设角B=θ，△ABC周长为y，求y=f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用韦达定理以及余弦定理求解A的值即可．
（2）利用正弦定理求出b，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可．

解答 （1）解：在△ABC中，且b²、c²是关于x的一元二次方程x²-（a²+bc）x+m=0的两根．
依题意有：b²+c²=a²+bc（2分）
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$（4分）
又A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$（6分）
（2）解：由$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$及正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$
∴$b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（\frac{2π}{3}-B）=2sin（\frac{2π}{3}-θ）$（8分）
故$y=a+b+c=\sqrt{3}+2sinθ+2sin（\frac{2π}{3}-θ）$
即$y=2\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$（10分）
由$0＜θ＜\frac{2π}{3}$得：$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$
∴当$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$时，${y_{max}}=3\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角函数的最值的求法，考查计算能力．