Question

已知函数f（x）=|x-8|-|x-4|．
（Ⅰ）解不等式|x-8|-|x-4|＞2；
（Ⅱ）f（x）＞a在x∈[-3，5]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=

4，x＜4 -2x+12，4≤x＜8 -4，x≥8

，分类讨论求得不等式|x-8|-|x-4|＞2的解集．
（Ⅱ）由题意可得，f（x）在[-3，5]上的最小值大于a，而f（x）在[-3，5]上的最小值为2，可得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-8|-|x-4|=

4，x＜4 -2x+12，4≤x＜8 -4，x≥8

，
显然，当x＜4时，不等式|x-8|-|x-4|＞2成立；当x≥8时，不等式|x-8|-|x-4|＞2一定不成立；
当4≤x＜8时，再由-2x+12＞2，求得4≤x＜5．
综上可得，不等式|x-8|-|x-4|＞2的解集为{x|x＜5}．
（Ⅱ）由题意可得，f（x）在[-3，5]上的最小值大于a，而f（x）在[-3，5]上的最小值为2，故有2＞a，
即a的范围为（-∞，2）．

点评：本题主要考查对由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．