题目内容
已知：函数
.（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…〉.
(1) 当
时，求函数
的图
象在点
处的切线方程；
(2) 当
时，试求函数的极值；
(3)若
，则当
时，函数的图象是否总在不等式
所表示的平面区域内，请写出判
断过程.
.（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…〉.(1) 当
时，求函数的图象在点处的切线方程；(2) 当
时，试求函数的极值；(3)若
，则当时，函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内，请写出判断过程.解析：
（1）
所以，当时函数的图象在点处的切线的斜率为1
故所求切线方程为
……………………..2分
（2）当时
恒成立，函数定义域为R
又
单调递增，
单调递减，
单调递增
所以函数的极大值为
，极大值为
…………………..5分
（3）①当时
法一：因为函数在
单调递增，所以其最小值为
，而函数在的最大值为1，所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分
法二：因为
而当
时
，
又，
，即当
时
成立
所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分
②当
时，
法一：仿上可得函数在上时，上述结论仍然成立……………..7分
法二：因为
，由（2）知
而当时
又，
，即当时成立……………..7分
而当
时，因为函数递减，其最小值为
所以，下面判断
的关系，即判断
的关系，
令
单调递增
使得
上单调递减，在
单调递增……………………………..10分
所以
即
也即
所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..12分
（1）
所以，当
时函数的图象在点处的切线的斜率为1故所求切线方程为
……………………..2分（2）当
时恒成立，函数定义域为R又
单调递增，单调递减，单调递增所以函数
的极大值为，极大值为…………………..5分（3）①当
时法一：因为函数
在单调递增，所以其最小值为，而函数在的最大值为1，所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分法二：因为
而当
时，又
，，即当时成立所以函数
图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分②当
时，法一：仿上可得函数
在上时，上述结论仍然成立……………..7分法二：因为
，由（2）知而当
时又
，，即当时成立……………..7分而当
时，因为函数递减，其最小值为所以，下面判断
的关系，即判断的关系，令
单调递增使得
上单调递减，在单调递增……………………………..10分所以
即
也即所以函数
图象总在不等式所表示的平面区域内……………..12分略
练习册系列答案
相关题目
；
在点
处的切线方程．
，满足
的x的取值范围 （ ）
, 函数
．
的单调区间；
的图像在点
处的切线的斜率为
，问：
在什么范围
，函数
在区间
上总存在
时，设函数
，若在区间
上至少存在
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
,高为2
的长方体纸盒.
表示长方体底面一边的长,
表示长方体的表面积,试写出
?
（
，
）．
时，判断函数
在
上的单调性，并说明理由；
，
恒成立，求实数
的值；
（2）的条件下，当
时，
，求实数
，
的值．
的导数为
，则
的值为
的图像在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10
若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值。